超越数

最近TVを見ていたら、面白い番組がありました。

Eテレで放映中の「笑わない数学」がそれです。

その中で、面白いエピソードが紹介されていましたので、紹介したいと思います。

番組で取り上げているのは、数論（数の性質について研究する数学）なのですが、難しい数論の考え方を、判りやすく簡単に紹介しています。

番組は「超越数」についてでした

超越数は、数の分類の一つになります

数の分類には

有理数：整数分の整数という分数で表せる数や、無理数：有理数ではない実数のこと。つまり、整数分の整数では表せない数といった、分類等がありますが、その他には「代数的数」「超越数」といった分類もあります。

代数的数：1次方程式や2次方程式といった何らかの代数方程式の解として表される数、√2や√3は、√a^2=aなので、代表的数、またｘ^2=-1の解がiとなることから、虚数も代数的数です。（ただし、代数方程式の係数は、すべて有理数）

超越数：代数方程式で表すことのできない数、πやeはこれにあたる。

ネイピア数 e が超越数である証明は、シャルル・エルミートにより、1873年に証明されました。証明は、結構難しいので興味のある方は調べてみてください。

また、フェルディナント・フォン・リンデマンにより証明されたリンデマンの定理では、代数的数 aに対してe^aは超越数であることが知られています。

この定理を使うと、πも超越数であることが判ります。（美しいです）

現在までのところ、πやeといった特殊な数を含んだ、超越数として確認された数はそれほど多くありません。

たとえば、π+eが超越数であるかは、確認されていないのです。

しかし、超越数が代数的数より圧倒的に多いことは、判っており、また複素数のほとんどが超越数であることは、確認されています。

（代数的数も超越数も無限に存在するはずなのに、超越数のほうが多いって…禅問答ですね）

私たちの身近な数字には、まだまだ多くの謎が含まれているのですね。

記事投稿：池田

地元にあった最先端の研究施設

私の住んでいる東京の西東京市（2001年田無市と保谷市が合併）には「いこいの森公園」という大きな公園があります。

この公園は、2005年に西東京市が誕生したのを記念して作られましたが、以前この場所には「東京大学原子核研究所」という当時、最先端の研究施設がありました。

原子核研究所は、第2次世界大戦後、研究が途絶えていた日本の原子核物理学の拠点として計画され、「サイクロトロン」や「電子シンクロトロン」といった最先端の性能を持つ加速器施設が作られました。

東京大学原子核研究所のシンクロトロン（画像：KEK H/Pより）

また、この施設は東大だけの設備ではなく、全国の大学を縦断し研究できる、原子核・素粒子・宇宙線研究の開かれた研究施設として、その後の物理学に大きな成果をもたらした施設でもありました。

代表的な成果としては…

・サイクロトロンやシンクロトロンを用いた、原子核の構造の研究や、核子共鳴の研究

・人工的につくられたパイ中間子の観測

・ベータ線分析器によるニュートリノ質量の直接測定実験　

そのほかにも、研究者の中から、小柴昌俊博士、益川敏英博士、梶田隆章博士等、ノーベル物理学賞を輩出したり、現在の医療で使われるPET診断（陽電子断層撮像）に使うポジトロン核種（陽電子を出す放射性同位元素）の生成の基礎を作るなど、多岐にわたり現在の科学技術の発展に寄与しました。

この研究所は、より大きな加速器の建設や、設備の老朽化等の問題もあり、2000年に施設移転されましたが、それまでは、年に1回ほど一般公開がされていました。

だれでも最先端の施設を見学することができ、私もわからないながら、何度か見学をした覚えがあります。

研究所の意思は現在も、「高エネルギー加速器研究機構(KEK)」や「素粒子原子核研究所」に引き継がれ最先端の研究がおこなわれているのです。

（LINK：Wikiペディア）

記事投稿：池田

水平線までの距離って何Km？

ここのところ、三角関数の話をしているので、もう一つ三角関数の話です

皆さん「水平線」ご存じですよね？

「どこまでも広がる海の遥かかなたの水平線」といったイメージですが、実際、水平線までの距離ってどのくらいあるのでしょうか？

10Km？　100Km？　実際に計算してみましょう

・地球の半径：ｒ

・観測者の地表からの目線の高さ：ｈ

・水平線までの距離：ｌ

とすると　線分ｒ、ｒ+ｈ、ｌで囲まれた直角三角形ができます。

直角三角形ですので、「三平方の定理」が成り立ちます

三平方の定理により

r^2 + l^2 = (r+h)^2 が成り立ちます

変形すると

l^2 = (r+h)^2-r^2 = √（(r+h)^2-r^2）

これに　数値を代入して計算すると…

ｌ≒4517ｍ（4.517Km）　となります

あれ？　思ったより近くないですか？

記事投稿：池田

偏微分

今まで微分について何度か話をしてきましたが、微分をする関数については、すべて変数が一つ（例えばｘ）だけの場合でした。

科学の世界で、微分を使う場面は多岐にわたりますが、必ずしも変数が１つだけとは限りません。（複数の変数を扱う場合が圧倒的に多いです…）

今回は、変数が複数ある関数を微分する「偏微分」の計算方法について簡単に話をしたいと思います。

偏微分とは？　多変数関数を「特定の文字以外定数とみなして」微分したもののことです。

例えば、f(x,y)= x ^2 +xy　を例にすると、xを変数、yを定数として計算しますので、f(x,y)= x ^2 +xyという関数のｘについての偏微分は　2ｘ+ｙとなります。

これを、記号を使って表すと以下のようになります。（変数ｘの偏微分）

今度は、同じ関数を変数ｙについて偏微分してみます。その際はｘ^2を定数と考えて

さらに、xｙ両方とも偏微分する際は、ｘの偏微分の結果をさらにｙで偏微分します。

ｘｙの計算の順番を変えても同じく

となり多くの場合、結果は同じになります。

計算の仕方が判ったところで、実際の計算の例を挙げてみましょう。

皆さんが高校数学を学んだ上で、最初の頃に悩んだであろう「平方完成」の問題…

上記の式を「平方完成」させると　

となりますが、これを偏微分を使って解くと、もっと簡単に解くことができます。

として、連立方程式を解くと、x=8,　y=-5　が得られるので、元の式に代入することで、最小値　-35　が得られます。

この例自体は、単なる数遊びで「だから何なんだ！」と思われる向きもありますが、複数の変数を持つ現象に出会って、それを解析する際には、「偏微分」という方法を使うことによって、「変数要素それぞれの解析ができ、それを重ね合わせることで、全体の解析が可能になる」と言うことを知ってもらえれば、良いと思います。

記事投稿：池田

ダイオードの種類と用途について

電子デバイスの一番基礎となるダイオード

各ダイオードの特徴を簡単にまとめてみました

① 整流用シリコンダイオード

・耐圧が高い。

　→高耐圧なので、高圧AC電源の整流などに対応可能

・逆電流IRが小さい。

　→逆電流に敏感な回路の保護など

・順方向電圧VFが大きい。

　→低電圧駆動を必要とする回路には使えない

　→大電流がでは、損失が大きくなる。

・逆回復時間trrが長い(数10μs～100μs程度)。

　→高速のスイッチングには不向き

② スイッチングダイオード

・逆回復時間trrが短い。

　→高速スイッチング回路に対応

・逆電流IRが小さい。

　→高い逆電流が流れる回路に使えない

・順方向電圧VFが大きい。

　→汎用整流ダイオードと同等で、低電圧駆動には不向き

③ ファストリカバリダイオード

・逆回復時間trrが非常に短い。

　→高速スイッチング回路に対応

・逆電流IRが小さい。

　→高い逆電流が流れる回路に使えない

・順方向電圧VFが大きい。

　→汎用整流ダイオードと同等で、低電圧駆動には不向き

・高電圧にも対応

　→500V以上の高圧に対応する製品もある

④ ショットキーバリアダイオード

・順方向電圧VFが小さい

　→低電圧駆動が可能（0.2V程度から）

・逆回復時間trrが非常に短い。

　→高速スイッチング回路に対応

・耐電圧が低い

　→高圧回路には使えない

・逆電流(漏れ電流)IRが大きい

・他のダイオードよりも一般的に高価

③ツェナーダイオード

・逆電圧VRを印加し、徐々に上げていくと、ある電圧で急激に逆電流IRが流れるダイオードで、定電圧を取り出すために、使用される

＊弊社では、TOSHIBA製品をはじめ、各ダイオードメーカーの製品紹介が可能です。

メーカー問わず、お問い合わせをお待ちしています。

記事投稿：池田