超越数

最近TVを見ていたら、面白い番組がありました。

Eテレで放映中の「笑わない数学」がそれです。

その中で、面白いエピソードが紹介されていましたので、紹介したいと思います。

番組で取り上げているのは、数論（数の性質について研究する数学）なのですが、難しい数論の考え方を、判りやすく簡単に紹介しています。

番組は「超越数」についてでした

超越数は、数の分類の一つになります

数の分類には

有理数：整数分の整数という分数で表せる数や、無理数：有理数ではない実数のこと。つまり、整数分の整数では表せない数といった、分類等がありますが、その他には「代数的数」「超越数」といった分類もあります。

代数的数：1次方程式や2次方程式といった何らかの代数方程式の解として表される数、√2や√3は、√a^2=aなので、代表的数、またｘ^2=-1の解がiとなることから、虚数も代数的数です。（ただし、代数方程式の係数は、すべて有理数）

超越数：代数方程式で表すことのできない数、πやeはこれにあたる。

ネイピア数 e が超越数である証明は、シャルル・エルミートにより、1873年に証明されました。証明は、結構難しいので興味のある方は調べてみてください。

また、フェルディナント・フォン・リンデマンにより証明されたリンデマンの定理では、代数的数 aに対してe^aは超越数であることが知られています。

この定理を使うと、πも超越数であることが判ります。（美しいです）

現在までのところ、πやeといった特殊な数を含んだ、超越数として確認された数はそれほど多くありません。

たとえば、π+eが超越数であるかは、確認されていないのです。

しかし、超越数が代数的数より圧倒的に多いことは、判っており、また複素数のほとんどが超越数であることは、確認されています。

（代数的数も超越数も無限に存在するはずなのに、超越数のほうが多いって…禅問答ですね）

私たちの身近な数字には、まだまだ多くの謎が含まれているのですね。

記事投稿：池田