偏微分

今まで微分について何度か話をしてきましたが、微分をする関数については、すべて変数が一つ（例えばｘ）だけの場合でした。

科学の世界で、微分を使う場面は多岐にわたりますが、必ずしも変数が１つだけとは限りません。（複数の変数を扱う場合が圧倒的に多いです…）

今回は、変数が複数ある関数を微分する「偏微分」の計算方法について簡単に話をしたいと思います。

偏微分とは？　多変数関数を「特定の文字以外定数とみなして」微分したもののことです。

例えば、f(x,y)= x ^2 +xy　を例にすると、xを変数、yを定数として計算しますので、f(x,y)= x ^2 +xyという関数のｘについての偏微分は　2ｘ+ｙとなります。

これを、記号を使って表すと以下のようになります。（変数ｘの偏微分）

今度は、同じ関数を変数ｙについて偏微分してみます。その際はｘ^2を定数と考えて

さらに、xｙ両方とも偏微分する際は、ｘの偏微分の結果をさらにｙで偏微分します。

ｘｙの計算の順番を変えても同じく

となり多くの場合、結果は同じになります。

計算の仕方が判ったところで、実際の計算の例を挙げてみましょう。

皆さんが高校数学を学んだ上で、最初の頃に悩んだであろう「平方完成」の問題…

上記の式を「平方完成」させると　

となりますが、これを偏微分を使って解くと、もっと簡単に解くことができます。

として、連立方程式を解くと、x=8,　y=-5　が得られるので、元の式に代入することで、最小値　-35　が得られます。

この例自体は、単なる数遊びで「だから何なんだ！」と思われる向きもありますが、複数の変数を持つ現象に出会って、それを解析する際には、「偏微分」という方法を使うことによって、「変数要素それぞれの解析ができ、それを重ね合わせることで、全体の解析が可能になる」と言うことを知ってもらえれば、良いと思います。

記事投稿：池田