2021年11月09日

微分は難しくない?(またか!)②

さて、前回の続きになります

ググっと拡大した、y=x^2のグラフですが、直線に見えませんか?
グラフが直線(1次関数)で表せるなら、そのグラフの傾き(変化量)は一定です。
(y=2xの直線の傾きが2であることと同じです)

このように、曲線で表せる関数の傾き(変化量)を計算する方法が、ズバリ、「微分をする」という事なのです(少し乱暴ですけど…)
つまり「y=2xを微分すると2になります」 ということです。

1次関数の傾きというのは、xの変化量とyの変化量の比ですよね。

微分10.JPG

それでは、同じように、y=x^2で考えてみましょう!

y=x^2は2次関数ですので、傾きはxの値によって、変化します。そこで、xの値が1.0~1.1に変化した場合を想定してみます。

微分11.JPG

つまり、y=x^2 上の x=1.0 の点と x=1.1 の点の2点を通る直線の傾きは、2.1 だということになります。
それでは、さらにxの変化量を細かくして、1.0~1.01まで変化した場合はどうでしょうか?

微分12.JPG

ふむ、だんだん「2」に近づいてきましたね…

さらに進めて、xからhだけ変化した場合を考えてみます。

微分17.JPG

ここで、hを限りなく0にすると、h=0と考られるので、傾き=2xとなります。
「hを限りなく0にする」ことを記号で

微分14.JPG

と表すことにします。(lim は「リミット」とよみ、極限(limit)を表します)

さて、関数f(x)の変化量を0に近づけること(lim)によって、その関数f(x)の傾きの変化を知ることができました。(y=x^2の場合は2xですよね)
これを関数f(x)の導関数f‘(x)を求める、すなわち微分するということになる訳です。

さらに、微分記号d/dxを使ってあらわすと…

微分15.JPG

やっていることは同じ! 関数の傾きの変化を求めているだけです。
同じことをやっているのに、「導関数」だの「lim」だの「微分記号」だのと表現の仕方が違っているから解りにくい…

これで、少しは微分のイメージが掴めたでしょうか?
でも、これって何かの役に立つの? 

次回はこの微分を使って何ができるのかということについて少し書ければと思います。



記事投稿:池田

posted by towa at 15:39| まめちしき | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする